[R 과 통계학 - 4] 조건부 확률, 베이즈 정리 및 이산확률분포(1)

이번 포스팅에서도 마찬가지로 확률에 대한 부분으로서 확률에서 가장 많이 쓰이는 개념은 조건부 확률에 대해서 알아보고 이 조건부 확률 개념을 응용한 베이즈 정리에 대해서도 짚고 넘어가보도록 하겠습니다.

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1. 조건부 확률

조건부 확률이란 어떤 사건 B가 일어났다는 조건 아래 사건 A가 일어날 확률을 조건부확률이라 부르고 다음과 같이 정의합니다.

조건부 확률

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예제를 한번 살펴보도록 하겠습니다.

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어떤 모임에는 남자가 5명, 여자가 6명으로 구성되었다. 남자 중에는 2명이 안경을 쓰고 있고 여자 중에는 4명이 안경을 쓰고 있다고 한다. 임의의 한 명을 뽑았을 때, "이 사람이 안경을 쓰고 있다."라는 정보를 알고 있을 때, 그 사람이 남자일 확률은 얼마인가?

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위 조건부 확률 공식을 그대로 대입하면,

A : 남자일 사건

B : 안경을 쓰고 있을 사건

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따라서 정답은 1/3, 0.333333333 ㅇ을 구할 수 있습니다.

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2. 베이즈정리

조건부 확률을 공부한다면 베이즈 정리는 사실상 필수라고 할 수 있는데, 우선 이 베이즈 정리를 한번 살펴보면 아래와 같습니다.

베이즈 정리

베이즈 정리란 새로운 조사나 실험을 통해 얻은 추가적인 정보가 주어질 경우 기존에 알고 있던 확률, 즉 사전확률에 이 새로운 정보를 반영하여 수정된 확률, 즉 사후확률을 계산하는 논리방법을 베이즈 정리라고 합니다.

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* 사전확률 : 관측자가 이미 알고 있는 사건으로부터 나온 확률로서 P(A1), P(A2) ... P(An)을 의미

* 우도 : 이미 알고 있는 사건이 발생했다는 조건하에 다른 사건이 발생할 확률로 위 베이즈 정리에서 P(B|A1), P(B|A2) ...P(B|An)을 의미함

* 사후확률 : 사전확률과 우도를 통해서 알게되는 조건부 확률로 베이즈 정리에서는 P(Ak|B)부분을 의미

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이러한 베이즈 정리를 그림을 통해서 이해해보도록 할게요.

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표본공간 S는 A1, A2, A3의 합집합이라고 할 때

사후확률 P(A1|B)를 알고 싶다면 베이즈정리를 이용해 사전 확률 P(A1), P(A2), P(A3)와 우도 P(B|A1), P(B|A2), P(B|A3)을 이용하여 사후확률 P(A1|B)를 구할 수 있습니다.

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3. 이산확률분포

이전 포스팅에서 확률변수에 대해서 다루었는데 기억나시나요?

시행해봐야 비로서 알 수 있는 변수를 확률변수라고 했었는데 그 때 이산확률변수와, 연속확률변수에 대해서 언급했었습니다.

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그렇다면 먼저 이산확률분포에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

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3.1 이산확률분포의 정의

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이산확률분포에서의 확률변수는 셀 수 있는 변수로서 예를 들어 동전을 던지는 실험에서 동전을 던졌을 때 앞면이 나오는 횟수를 확률변수라 생각한다거나, 주사위를 던져서 홀수가 나오는 횟수, 총을 쏴서 명중을 한 횟수 등 이런식으로 유한하여 셀 수 있는 확률변수들에 대한 분포가 바로 '이산확률분포'입니다.

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3.2 이산확률분포의 평균과 분산

 

만약 제가 컴퓨터 하루에 컴퓨터 게임을 하는 시간이 다음과 같은 확률분포로 주어진다고 가정할 때, 이 확률분포의 평균과 분산을 구하면, 즉 이산확률변수 X의 평균과 분산을 구해볼까요?

1일 게임시간	0	1	1.5	2	2.5	3
P(X=x)	0.3	0.2	0.2	0.1	0.1	0.1

평균과 분산을 구해주면 다음과 같습니다.

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1.평균

  μ=0×0.3+1×0.2+1.5×0.2+2×0.1+2.5×0.1+3×0.1=1.25(시)​

 

2.분산

이것을 한번 R을 통해서 구해보도록 할까요?

 

 

x <- c(0,1,1.5,2,2.5,3)
px <- c(0.3,0.2,0.2,0.1,0.1,0.1)
result <- x*px
cumsum(result)

cumsum()이라는 함수는 누적합을 구해주는 함수이고 마지막에 1.25를 보시면 위에서 직접구해준 값과  동일합니다.

분산도 같은 방법으로 구해줄 수 있으니 여러분들이 직접구해보시면 좋을 것 같습니다.

 

여기까지 조건부확률과 베이즈 정리 및 이산확률분포에 대해서 알아보았습니다.