[R 과 통계학 - 5] 이산확률분포(2) - 베르누이분포, 이항분포, 음이항분포

 이산확률분포의 종류에는 베르누이분포, 이항분포, 음이항분포, 기하분포, 초기하분포, 포아송분포, 이산형 균일분포 등 다양한 분포가 존재하는데 이번 포스팅에서는 베르누이분포, 이항분포, 음이항분포에 대해서 알아보도록 하겠습니다.

 

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1. 베르누이분포(Bernoulli Distribution)

베르누이 시행이라는 것이 있는데, 베르누이 시행이란 성공, 실패 둘 중 하나로 구분되는 실험을 수행하는 것으로 예를 들면 동전을 던졌을 때의 앞면, 뒷면, 성별검사의 남,여, 제품검사의 합,불합 등 이분법적으로 나눌 수 있는 실험을 베르누이 시행이라고 합니다.

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이때 확률변수 X가 가질 수 있는 것을 간단하게 0또는 1이라고 표현할 수 있고, "P(X=0)은 1-p =q 이고 p(X=1)은 p이다."라고 표현할 수 있는데 이것을 함수로 표현하면 아래와 같습니다.

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이와 같은 확률분포를 베르누이분포라고 합니다.

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어떤 분포를 결정짓는 값을 우리는 모수(parameter)라고 부르는데 베르누이분포에서는 p가 모수입니다.

따라서 확률변수 X가 베르누이분포를 따르는 것을 기호로 표현하면 X~Bernoulli(p)로 씁니다.

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베르누이분포를 따른다면 평균과 분산을 다음과 같이 구할 수 있습니다.

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2. 이항분포

위에서 살펴본 베르누이 시행을 독립적으로 반복시행하는 경우의 실험을 이항실험이라고 합니다.

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이항분포를 정리하자면 성공률이 p로 일정한 베르누이 시행을 독립적으로 반복시행할 때 성공의 횟수를 X라 하면 이 확률분포를 이항분포라고 부릅니다.

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확률변수 X가 실험횟수가 n이고 매 시행의 성공률이 p인 이항분포를 따르는 것을 X~B(n,p)라고 표현합니다.

확률분포는 다음과 같이 구합니다.

매 시행의 성공률이 p로 일정한 이항실험에서 (q=1-p)

확률변수 X : n번 시행하는 실험이라고 가정할 때에 평균과 분산은 다음과 같습니다.

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평균 = n*p

분산 = n*p*q

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3. 음이항분포 (베르누이, 이항분포와 개념 비교정리)

베르누이 시행을 독립적으로 반복시행하는 경우가 이항분포라고 했습니다.

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그럼 이러한 성공확률이 p인 베르누이 시행을 독립적으로 반복하는데, k번째 성공이 나올 때 까지의 총시행횟수를 확률변수 X라고 정의한다면 이때의 확률분포를 '음이항분포'라고하며 확률분포는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

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또는 실패횟수에 관심을 갖는 것도 음이항 분포라고 부르는데요, 매 성공률이 p로 일정한 베르누이 시행을 독립시행할 때, k번 성공이 일어날 대가지의 실패횟수를 확률변수 X라고 놓는 것 또한 음이항분포이고 확률분포는 다음과 같습니다.

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예시를 통해 개념을 다시 한 번 정리해보도록 하겠습니다.

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우리 보통 PC게임이던 모바일 게임이던 게임에서는 다양한 아이템들이 존재하고 게임속 자신의 케릭터를 좀 더 가치있게 만들기 위해서 보통 거의 모든게임에서는 장비강화라는 시스템이 존재하죠?

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이 게임속 아이템 장비강화를 예시로 들어보도록 하겠습니다.

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#베르누이분포

아이템 강화는 베르누이 시행이라고 볼 수 있습니다.

게임 케릭터의 장비를 강화하면 일정 확률로 강화가 성공하거나 실패합니다. 시행의 결과는 오직 강화 성공과 실패 두가지 밖에 존재하지 않으니 베르누이 시행이라고 볼 수 있겠죠?

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강화 성공확률은 게임개발자는 알고 있습니다. 성공 확률이 p라고 한다면 장비 아이템 강화 시행이란 성공확률이 p인 베르누이 시행이됩니다.

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#이항분포

그런데 게임에선 항상 문제가 존재하죠. 바로 강화를 딱 한번만 지르지 않는다는 문제점이 존재합니다.

즉 성공확률이 p인 베르누이 시행을 n번 반복하게됩니다.

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정리하자면 성공확률이 p인 베르누이 시행을 n번 시도했을 때 k번 성공하는 사건은 얼마나될까?? 하고

즉 "10% 장비강화 주문서를 사용해 7장 사용해서 3번 성공할 확률은 얼마나 될까?"를 궁금해할 수 있습니다.

이러한 경우 이항분포를 활용하게 됩니다.

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#음이항분포

이항분포는 "10%짜리 장비강화 주문서 7장을 사용해서 3번 성공할 확률이 얼마나 될까?"라는 상황에서 활용한다고 했습니다. 그럼 음이항분포는 어떠한 상황일까요?

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게임유저라면 내가 원하는 강화횟수 예를 들면 내가 7번 강화에 성공해서 7성짜리 무기를 만들려면 몇번이나 강화를 시도해야하는지가 궁금할 것입니다.

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즉 성공 확률이 p인 강화를 k번 성공시키기 위해선 n번의 시도수가 필요할 확률을 구하는 것 그것이 바로 음이항분포입니다. 다시한번 정리하자면 목표한 성공 횟수에 도달하기 위해서 얼마나 많은 실패가 필요한지 실패횟수 r에 대한 확률을 계산하는 하는 것이죠.

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그럼 마지막으로 총정리를 한번해보겠습니다.

1) 베르누이분포에서의 확률변수 X란, 변수 X가 성공 or 실패인 경우

2) 이항분포에서의 확률변수 X란, n번의 베르누이 시행에서 성공의 횟수

3) 음이항분포에서의 확률변수 X란, k번 성공할 때까지의 총 실험횟수(실패횟수)

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정리되셨나요?

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4.R에서 이항분포, 음이항분포 활용하기 - dbinom(), dnbinom() 함수

독자분들 우리 저번 포스팅에서 R과 R Studio 설치했었으니 이번에 한번 써먹어봐야겠죠??

그럼 지금 바로 R Studio를 실행시켜주시고 아래와 같은 코드를 작성해보도록 하겠습니다.

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4-01 R 설정

R Studio 실행화면

다들 요 화면보고 계시리라 생각하고 진행할게요.

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코드를 작성하기전에 간단한거 하나 알려드릴게 있는데요! 위 여러가지 Tab들이 존재하는데

Tools -> Global options를 클릭하시면 다음과 같은 창이 뜹니다.

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여기에서 Code -> Saving 으로 이동하신다음 아래 그림처럼 엔코딩설정을 해줄 수 있는데 change 버튼을 클릭하셔서 'UTF-8'로 설정해주시기 바랍니다. 이 설정을 하지 않으면 한글깨짐현상이 발생하기 때문에 설치하시고 난 후에 한번씩 확인해주는게 좋습니다.

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디폴트 엔코딩 설정 : UTF-8

이외에도 여러가지 설정을 할 수 있는데 크게 딱히 건드릴건 없고

Appearance에서 원하시는 테마설정정도만 하셔도 될 것 같습니다. 저는 어두운 배경이 좋아서 ㅎㅎ...

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4-02 이항분포 - dbinom()

만약 강화 성공 확률이 10%인 주문서를 10번 사용했을 때, 1번 성공할 확률은 몇%일까요?

10%이기 때문에 10%라고 생각하실 수 있겠지만 구체적으로 이 시행은 이항분포를 따른다고 볼 수 있기때문에 아래와 같은 식으로 구할 수 있습니다.

그럼 적용한다면 다음과 같이 쓸 수 있겠죠?

(앞에 괄호처럼 표시한 것이 바로 조합을 의미하는 수식기호임)

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위 식을 R에서 계산해보도록 할까요?

(factorial(10)/factorial(9))*0.1*0.9^9

R에서 팩토리얼함수와 지수표현은 '^'을 통해서 할 수 있고 위 코드의 결과값을 확인하면 아래와 같이 약 38.74%라고 구할 수 있겠습니다.

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결국 강화 성공 확률이 10%인 주문서를 10번 사용했을 때, 1번 성공할 확률을 이항분포를 몰랐을 때에는

그냥 단순하게 생각하면 10%라고 생각했지만 실제로 10%짜리 주문서를 10번 질러서 1번 성공할 확률은 10%가 아니라 38.74%가 됩니다.

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그런데 이런 이항분포를 따르는 확률을 계산하기가 너무 귀찮지 않나요?

그래서 R에서는 dbinom()이라는 함수를 제공합니다.

dbinom(x=1, size=10, prob =0.1)

위에서 처럼 x는 성공횟수, size는 n, prob 는 성공확률을 각각 넣어주고 함수를 돌리면

이처럼 따로 수식을 작성하지 않고도 간단하고 빠르게 구할 수 있습니다.

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그렇다면 10%짜리 주문서를 10번 질러서 0번 성공할 확률, 1번성공할 확률, 2번성공할 확률 ..... 해서 10번 다 성공할 확률을 알아볼까요?

dbinom(x=0:10, size=10, prob =0.1)

위와 같이 X에 0:10이라는 표현을 사용해주면 되는데 이는 0부터 10까지 시퀀스 벡터를 의미합니다.

즉 x라는 벡터(R에서의 변수를 담는 그릇)에는 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 이라는 11가지 숫자가 들어가게 됩니다.

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해서 결과값을 보면!

위와 같이 구할 수 있고 2번 성공할 확률이 19.37%, 3번 성공할 확률이 5.73%로 급격하게 감소하는 것을 확인 할 수 있습니다.

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그럼 이것을 그래프로 시각화하여 한번 확인해볼까요?

plot(0:10, dbinom(0:10, 10, 0.1), type = 'h')

위 코드는 R에 내장된 기본적인 그래프를 그리는데 사용되는 plot()함수입니다.

실행 결과를 보면 다음과 같은 그래프를 확인하실 수 있습니다.

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이렇게 그래프로 보니 10% 강화 주문서를 10번 질러서 1번 성공할 확률은 38%나 되지만 2번이상 성공할 확률은 급격하게 줄어들기 때문에 10번 질러서 1번되면 다행인 것처럼 보입니다.

정말 운이 좋아야 2번성공하는거죠!

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그런데 뭔가 그래프가 안이쁜 것 같아서 다음과 같은 코드를 통해 좀 더 이쁜 그래프를 그려보도록 할게요.

library(ggplot2) x=0:10 y=dbinom(0:10,10,0.1) data1 <- data.frame(x,y) ggplot(data=data1, aes(x=data1$x, y=data1$y)) + geom_col(fill='orange') + scale_x_continuous(breaks=c(0:10))

library(ggplot2) x=0:10 y=dbinom(0:10,10,0.1) 
data1 <- data.frame(x,y) 
ggplot(data=data1, aes(x=data1$x, y=data1$y)) + geom_col(fill='orange') + scale_x_continuous(breaks=c(0:10))

'ggplot2'라는 패키지안에 있는 ggplot()이라는 함수를 통해서 아래와 같은 그래프를 얻을 수 있습니다.

코드가 조금 어려워보여도 계속 눈으로 보다보면 어떻게 적용된건지 금방 감이오실거에요.

(코드부분에서 이해가 안되는 부분이 있으면 댓글로 남겨주세요)

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4-03음이항분포

자 10%강화 주문서를 10번 성공시켜서 10성 장비를 얻으려면 대체 몇번이나 시도해야하는지 궁금하다고 합시다. 이럴 때 바로 음이항 분포를 활용하면 되겠습니다.

(이 때, 음이항분포는 이항분포와 달리 실패 횟수가 무한대까지 확장이 가능하다는 점을 생각해야합니다.)

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그럼 음이항분포의 2가지 확률분포 중

위와 같은 확률분포를 활용하면 되겠죠?

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마찬가지로 R에서는 당연히 음이항분포에 대한 함수도 제공합니다.

다음 코드를 통해서 결과값을 구해보도록 할게요.

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​x=0:200 y=dnbinom(x=0:200, size=10, prob = 0.1) 
data2 <- data.frame(x,y) 
ggplot(data=data2, aes(x=data2$x, y=data2$y)) + geom_col(fill='green') #1번째 sum(dnbinom(1:200, size=10, prob = 0.1)) #2번째 pnbinom(100,10,0.1) #3번째

먼저 #1번째의 실행결과로 다음과 같은 그래프를 얻을 수 있습니다.

이 그래프를 보면 100번정도는 시행해야 반이상의 확률을 구할 수 있다는 건데요 (x까지의 누적면적의 합이 확률입니다.)

#2번이 바로 200번시도했을 때 얻어지는 확률값인데

200번정도는 해야 99.81%의 확률로 10% 강화주문서를 써서 10강 무기를 만들 수 있다는겁니다.

그럼 100번정도하면 몇 %의 확률로 구할수 있을까요? 저기서 1:200을, 1:100으로 바꾸어도 되는데

x까지의 누적확률값을 구해주는 함수가 있습니다.

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그래서 #3번을 보시면 pnbinom()함수를 활용한 것이고 결과값은 다음과 같습니다.

 

보시다시피 sum(1:100)으로 바꿔준것과 동일한 값이 나오는 것을 확인할 수 있죠?

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이로써 R로 이항분포와 음이항분포에 관한 활용사례들을 살펴보았습니다.

여기까지 꽤나 긴글이 된 것 같습니다.

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그래서 마찬가지로 베르누이 시행을 독립적으로 반복하는 상황에서 나오는 기하분포와 초기하분포

그리고 주어진 시간, 면적, 공간내에 발생하는 어떤 사건의 횟수에 관심이 있을 때 사용하는 포아송분포까지

이 3가지 확률분포에 대해서는 다음 포스팅에서 다루도록 하겠습니다.

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긴글읽으시느라 고생많으셨고 다음 포스팅에서 찾아뵙도록 하겠습니다.

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감사합니다.